向量数量积(《类题通法》624：向量的数量积)

一、求向量的数量积的方法

求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角。若是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量的数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简，使问题转化为两个单一向量的数量积，再用数量积公式计算。

二、解决几何图形中向量的数量积运算问题的思路方法

(1）解决几何图形中向量的数量积运算问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量。

(2）向量的夹角是由向量的方向确定的，在△ABC中，注意向量BC与向量CA,向量CA与向量AB,向量AB与向量BC的夹角不是角C,角A,角B，而是它们的补角。

(3）设D是△ABC的边BC的中点，则向量AD＝½（向量AB+向量AC)。

三、求两个向量的夹角的方法

(1）求两向量的夹角，需用到变形公式 cosθ=a·b/|a||b|,故应先求出a·b与|a||b|的值。注意θ属于[0,π]。

(2）注意a·b=0等价于a垂直b(a≠0,b≠0）是证明垂直的方法，也是求夹角为π/2的方法。

四、解决与向量的模有关问题的基本思路

a·a=a平方=|a|平方或|a|=根号a·a是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据。这种通过求自身的数量积从而求模的思想是解决向量的模的问题的主要方法。此外，根据平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化，把向量问题转化为平面几何问题，再利用平面几何的方法求解。

五、利用向量的数量积判断三角形形状的方法

关键是由已知条件建立向量的数量积、向量的模、向量的夹角等量之间的关系，然后利用移项、平方等方法获得向量的数量积及向量的模等信息。